音视频 - 线性预测编码LPC

13 Aug 2016

在语音信号处理中，线性预测是一种重要的短时分析技术，可以用过去的一段语音来估计之后样本点的模型参数，即可以利用过去的样本点预测未来的样本点。LPC根据是否对过去样本点加窗处理，又有自相关法和自协方差法。自相关法需要对过去一段语音进行加窗处理，与自协方差相比，它有着高效的递推算法，因此使用比较广泛。本文将介绍如何利用递推算法求解LPC中的模型参数。

1. 基本原理

顾名思义，线性预测分析，就是通过用过去样本点的线性组合来预测将来样本值：

\[s'(n)=\sum_1^p a_i*s(n-i)\]

预测误差为：

\[\varepsilon=s(n)-s'(n)=s(n)-\sum_1^p a_i*s(n-i)\]

LPC的基本思想在于，通过将误差最小化，得到合适的参数 \(a_i\) 。过程推导如下：

\[\sigma_\varepsilon^2=\sum_n\varepsilon^2(n)\]

将该公式展开：

\[\sigma_\varepsilon^2=\sum_n[s(n)-\sum_1^p a_i s(n-i)]^2\\ ={\sum_n s^2(n)}-2\sum_{k=1}^p a_k{\sum_n s(n-k)s(n)}+\sum_{k=1}^p\sum_{i=1}^p a_k a_i{\sum_n s(n-k)s(n-i)}\]

再对 \(a_k\) 求偏导：

\[\frac{\partial\sigma_\varepsilon^2}{\partial a_k}=0,k=1,2...p\] \[2\sum_n{s(n-k)s(n)}-2\sum_{i=1}^p a'_i{\sum_n{s(n-k)s(n-i)}}=0,k,i=1,2...p\]

我们假设 \(\phi(k,i)=\sum_n s(n-k)s(n-i)\)，则有：

\[\sum_{i=1}^p a'_i \phi(k,i) = \phi(k,0),k=1,2...p\]

这个方程称为LPC正则方程。

2. 线性预测方程组求解

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